Теория

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a не равно 0. Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a, b, c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b² - 4ac:

1. при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле:

   

2. при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

   

3. при D < 0 вещественных корней нет.

   Мнемонические правила

   Другие записи решений

   Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение:

   где k = b / 2.

   Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0.

   Приведённое квадратное уравнение

   Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

   

   
   

   

   Теорема Виета: Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

   x₁ + x₂ = -p

   x₁ , x₂ = q

   В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

   x₁ + x₂ = -b/a

   x₁ , x₂ = c/a

   Из истории квадратных уравнений